Jeanne Colbois PRO
Physicist @ CNRS. Here you find slides for *some* of my presentations, as well as visual abstracts for recent publications.
Le modèle le plus simple du magnétisme microscopique
Transitions de phase, frustration, systèmes de spins artificiels : une discussion informelle sur 100 ans de modèle d'Ising
Jeanne Colbois, Assitante-Doctorante à la Chaire de Théorie de la Matière Condensée
30.11.2020
CTMC
Disclaimer
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Le modèle d'Ising a été inventé il y a 100 ans...
Disclaimer
Le modèle d'Ising a été inventé il y a 100 ans...
Preprints contenant le terme "Ising" dans le titre depuis le début du semestre: 100
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Le modèle d'Ising a été inventé il y a 100 ans...
Preprints contenant le terme "Ising" dans le titre depuis le début du semestre: 100
Applications:
- Magnétisme
- Gaz sur réseau
- Neurosciences
- ...
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Le modèle d'Ising a été inventé il y a 100 ans...
Preprints contenant le terme "Ising" dans le titre depuis le début du semestre: 100
Applications:
- Magnétisme
- Gaz sur réseau
- Neurosciences
- ...
... Les sujets que je "méconnais" le moins...
Plan
- Une introduction au magnétisme
- Les débuts du modèle d'Ising
- Les débuts de la frustration
- Des exemples expérimentaux
- Une mention des méthodes numériques
Magnétisme?
Magnétisme?
Magnétisme?
Magnétisme?
Charges électriques en mouvement...
Magnétisme?
Charges électriques en mouvement...
... matériaux magnétiques...
Magnétisme?
Charges électriques en mouvement...
... matériaux magnétiques...
??
Comment le magnétisme émerge-t-il des propriétés microscopiques des matériaux
?
Comment [une propiété macroscopique] émerge-t-elle de [propriétés microscopiques]
?
Comment [une propiété macroscopique] émerge-t-elle de [propriétés microscopiques]
?
Physique statistique,
Comment [une propiété macroscopique] émerge-t-elle de [propriétés microscopiques]
?
Physique statistique,
physique quantique,
Comment [une propiété macroscopique] émerge-t-elle de [propriétés microscopiques]
?
Physique statistique,
physique quantique,
THEORIE DE LA MATIERE CONDENSEE
Transition de phase
Transition de phase
Transition de phase
Un petit changement dans les paramètres provoque un changement drastique dans les propriétés macroscopiques
Fonction de partition et probabilité
Z = \sum_{ \eta \in \text{configurations}} e^{-\beta E(\eta)}
P(\eta) = \frac{1}{Z} \exp(-\beta E(\eta))
Ce qu'il faut retenir:
1. si on peut calculer la fonction de partition, on a tout
2. Si le logarithme de la fonction de partition est non-analytique, il y a une transition de phase
Matière au niveau atomique
Matière au niveau atomique
Un problème à de nombreux corps
Matière au niveau atomique
Un problème à de nombreux corps
Un atome
Matière au niveau atomique
Un problème à de nombreux corps
Un atome
- Des électrons, qui ont un spin
Matière au niveau atomique
Un problème à de nombreux corps
Un atome
- Des électrons, qui ont un spin
- Les règles de Hund déterminent le spin effectif (spin total)
Matière au niveau atomique
Un problème à de nombreux corps
Un atome
- Des électrons, qui ont un spin
- Les règles de Hund déterminent le spin effectif (spin total)
- Les électrons ont une probabilité de se situer à un certain endroit : les orbitales
Matière au niveau atomique
Un réseau d'atomes...
Un problème à de nombreux corps
Matière au niveau atomique
Un réseau d'atomes...
... dont la cellule unité peut être compliquée
Un problème à de nombreux corps
Matière au niveau atomique
Un réseau d'atomes...
Un problème à de nombreux corps
Modèle de tight-binding et théorie des bandes
Matière au niveau atomique
Un réseau d'atomes...
Un problème à de nombreux corps
Modèle de tight-binding et théorie des bandes
- Si les atomes sont très éloignés, les électrons sont localisés autour des atomes
Matière au niveau atomique
Un réseau d'atomes...
Un problème à de nombreux corps
Modèle de tight-binding et théorie des bandes
- Si les atomes sont très éloignés, les électrons sont localisés autour des atomes
- Si les atomes se rapprochent, les électrons peuvent "sauter" d'un site à l'autre
Matière au niveau atomique
Un réseau d'atomes...
Un problème à de nombreux corps
Modèle de tight-binding et théorie des bandes
- Si les atomes sont très éloignés, les électrons sont localisés autour des atomes
- Si les atomes se rapprochent, les électrons peuvent "sauter" d'un site à l'autre
Métaux versus isolants!
Causes microscopiques du magnétisme
Causes microscopiques du magnétisme
(vision moderne)
Source: https://en.wikipedia.org/wiki/Magnetism
Causes microscopiques du magnétisme
(vision moderne)
Source: https://en.wikipedia.org/wiki/Magnetism
Magnétisme de bandes
Causes microscopiques du magnétisme
(vision moderne)
Source: https://en.wikipedia.org/wiki/Magnetism
Magnétisme de bandes
Atomes
indépendants
Causes microscopiques du magnétisme
(vision moderne)
Source: https://en.wikipedia.org/wiki/Magnetism
Magnétisme de bandes
Atomes
indépendants
Magnétisme dans les isolants
Causes microscopiques du magnétisme
(vision moderne)
Les débuts du modèle d'Ising
1920 : la question de Wilhelm Lenz
1920 : la question de Wilhelm Lenz
1920 : la question de Wilhelm Lenz
1920 : la question de Wilhelm Lenz
Pierre Curie : à haute température, les aimants permanents perdent leurs propriétés.
1920 : la question de Wilhelm Lenz
Niels Bohr et Hendrika Johanna van Leeuwen:
le paramagnétisme est une propriété quantique. Il faut considérer des moments magnétiques associés aux atomes.
1920 : la question de Wilhelm Lenz
Wilhelm Lenz :
Les atomes sont des dipôles qui peuvent prendre 2 orientations.
1920 : la question de Wilhelm Lenz
Wilhelm Lenz :
Est-ce qu'on peut avoir une transition de phase dans un modèle aussi simple?
Les atomes sont des dipôles qui peuvent prendre 2 orientations.
1924 : La réponse d'Ernst Ising
1924 : La réponse d'Ernst Ising
\sigma_i = \pm 1
H = - J \sum_{i} \sigma_i \sigma_{i+1} - h \sum_{i} \sigma_i
1924 : La réponse d'Ernst Ising
\sigma_i = \pm 1
H = - J \sum_{i} \sigma_i \sigma_{i+1} - h \sum_{i} \sigma_i
1924 : La réponse d'Ernst Ising
\sigma_i = \pm 1
H = - J \sum_{i} \sigma_i \sigma_{i+1} - h \sum_{i} \sigma_i
P(\{\sigma\}) \propto exp(-\beta H) \propto x^{ + \text{neighbour} -}
1924 : La réponse d'Ernst Ising
\sigma_i = \pm 1
H = - J \sum_{i} \sigma_i \sigma_{i+1} - h \sum_{i} \sigma_i
P(\{\sigma\}) \propto exp(-\beta H) \propto x^{ + \text{neighbour} -}
P(\sigma_n = + | \sigma_1 = +) \rightarrow \frac{1}{2}
A toute température, on a que la limite quand n devient grand est:
1924 : La réponse d'Ernst Ising
\sigma_i = \pm 1
H = - J \sum_{i} \sigma_i \sigma_{i+1} - h \sum_{i} \sigma_i
Il n'y a pas de transition de phase dans ce modèle en 1D
1924 : La réponse d'Ernst Ising
\sigma_i = \pm 1
H = - J \sum_{i} \sigma_i \sigma_{i+1} - h \sum_{i} \sigma_i
Il n'y a pas de transition de phase dans ce modèle en 1D
Il n'y en n'a pas non plus en 2D et 3D
1924 : La réponse d'Ernst Ising
\sigma_i = \pm 1
H = - J \sum_{i} \sigma_i \sigma_{i+1} - h \sum_{i} \sigma_i
Il n'y a pas de transition de phase dans ce modèle en 1D
Il n'y en n'a pas non plus en 2D et 3D
Enseigner, c'est bien aussi
1924 : La réponse d'Ernst Ising
\sigma_i = \pm 1
H = - J \sum_{i} \sigma_i \sigma_{i+1} - h \sum_{i} \sigma_i
Il n'y a pas de transition de phase dans ce modèle en 1D
Il n'y en n'a pas non plus en 2D et 3D
1924 : La réponse d'Ernst Ising
\sigma_i = \pm 1
H = - J \sum_{i} \sigma_i \sigma_{i+1} - h \sum_{i} \sigma_i
Il n'y a pas de transition de phase dans ce modèle en 1D
Il n'y en n'a pas non plus en 2D et 3D
1924 : La réponse d'Ernst Ising
\sigma_i = \pm 1
H = - J \sum_{i} \sigma_i \sigma_{i+1} - h \sum_{i} \sigma_i
Il n'y a pas de transition de phase dans ce modèle en 1D
Il n'y en n'a pas non plus en 2D et 3D
Mais ça, on ne l'a pas su tout de suite!
1936 : L'argument de Peierls
1936 : L'argument de Peierls
h = 0
Est-ce que la probabilité de l'état de plus basse énergie peut devenir plus grande que la probabilité des premiers états excités?
1936 : L'argument de Peierls
h = 0
P_{\beta}(++...+++) \geq P_{\beta}(+-...-+) ?
1936 : L'argument de Peierls
h = 0
P_{\beta}(++...+++) \geq P_{\beta}(+-...-+) ?
En 1D, il n'y a pas de température à laquelle cela se produit...
1936 : L'argument de Peierls
h = 0
P_{\beta}(++...+++) \geq P_{\beta}(+-...-+) ?
En 1D, il n'y a pas de température à laquelle cela se produit...
Mais en 2D, si!
1941 : La dualité de Kramers-Wannier
1941 : La dualité de Kramers-Wannier
1941 : La dualité de Kramers-Wannier
La fonction de partition du modèle d'Ising sur le réseau carré à basse température est liée à celle à haute température par un changement de variable
1941 : La dualité de Kramers-Wannier
La fonction de partition du modèle d'Ising sur le réseau carré à basse température est liée à celle à haute température par un changement de variable
k T_c = \frac{2 J}{\ln(1 + \sqrt(2))}
S'il existe une unique transition de phase:
1944 : La solution d'Onsager et Kaufman
1944 : La solution d'Onsager et Kaufman
Onsager se sert de la formulation du problème en termes de matrices de transfert et montre que celle du modèle d'Ising satisfait certaines propriétés qui lui permettent d'effectuer le calcul.
1944 : La solution d'Onsager et Kaufman
Kaufman re-dérive son résultat en utilisant un mapping sur des fermions libres.
En résumé:
Juste sous Tc A Tc Juste au-dessus
Les débuts de la frustration
1936: L'entropie de la glace
1935: L'entropie de la glace
1935: L'entropie de la glace
(Prix Nobel en chimie et... prix Nobel de la paix!)
1935: L'entropie de la glace
Source: https://www.benbest.com/cryonics/icecryst.gif
1935: L'entropie de la glace
Source: https://www.benbest.com/cryonics/icecryst.gif
Chaque atome d'hydrogène doit respecter les règles suivantes:
1. se trouver sur une liaison
2. 1 seul hydrogène par liaison
1935: L'entropie de la glace
Source: https://www.benbest.com/cryonics/icecryst.gif
Chaque molécule a 6 configurations différentes, qui ont 1/4 chances d'être acceptées
Chaque atome d'hydrogène doit respecter les règles suivantes:
1. se trouver sur une liaison
2. 1 seul hydrogène par liaison
1935: L'entropie de la glace
Source: https://www.benbest.com/cryonics/icecryst.gif
Chaque molécule a 6 configurations différentes, qui ont 1/4 chances d'être acceptées
S = 1/N \ln (W) \geq \ln(3/2)
Chaque atome d'hydrogène doit respecter les règles suivantes:
1. se trouver sur une liaison
2. 1 seul hydrogène par liaison
1950: Le magnétisme frustré
1950: Le magnétisme frustré
1950: Le magnétisme frustré
Toujours le même
(c'est aussi celui des fonctions d'ondes localisées)
1950: Le magnétisme frustré
H = J \sum_{\langle i, j \rangle} \sigma_i \sigma_j
Toujours le même
(c'est aussi celui des fonctions d'ondes localisées)
1950: Le magnétisme frustré
H = J \sum_{\langle i, j \rangle} \sigma_i \sigma_j
Toujours le même
(c'est aussi celui des fonctions d'ondes localisées)
1950: Le magnétisme frustré
H = J \sum_{\langle i, j \rangle} \sigma_i \sigma_j
Toujours le même
(c'est aussi celui des fonctions d'ondes localisées)
1950: Le magnétisme frustré
?
H = J \sum_{\langle i, j \rangle} \sigma_i \sigma_j
Toujours le même
(c'est aussi celui des fonctions d'ondes localisées)
1950: Le magnétisme frustré
0.323... \text{Erratum 1973}
1950: Le magnétisme frustré
\text{Nombre de fondamentaux} \propto a^N
S = \ln(W)
0.323... \text{Erratum 1973}
S \geq \frac{1}{3} \ln(2) \cong 0.231
La glace de spin
\text{Dy}_2\text{Ti}_2\text{O}_7
- A. P. Ramirez, A. Hayashi, R. J. Cava, R. Siddharthan & B. S. Shastry, Nature 399, 1999
La glace de spin artificielle
La glace de spin artificielle
La glace de spin artificielle
La glace de spin artificielle
Les structures respectent la "règle" 2-in 2-out
Des monopôles magnétiques?
Des monopôles magnétiques?
Des monopôles magnétiques?
Des monopôles magnétiques?
Sandra H. Skjærvø, Christopher H. Marrows, Robert L. Stamps & Laura J. Heyderman, Advances in artificial spin ice, Nature Review Physics 2, 2020
Le modèle d'Ising et les méthodes numériques
L'algorithme de Metropolis-Hastings
L'algorithme de Metropolis-Hastings
L'algorithme de Metropolis-Hastings
Un algorithme pour échantillonner une distribution dont on ne connaît pas la normalisation
L'algorithme de Metropolis-Hastings
Un algorithme pour échantillonner une distribution dont on ne connaît pas la normalisation
P(\{\sigma\}) = \exp(-\beta E(\{\sigma\}))
L'algorithme de Metropolis-Hastings
Un algorithme pour échantillonner une distribution dont on ne connaît pas la normalisation
P(\{\sigma\}) = \exp(-\beta E(\{\sigma\}))
P(\{\sigma\}' | \{\sigma\}) = g(\{\sigma\}' | \{\sigma\}) A(\{\sigma\}' | \{\sigma\})
L'algorithme de Metropolis-Hastings
Un algorithme pour échantillonner une distribution dont on ne connaît pas la normalisation
P(\{\sigma\}) = \exp(-\beta E(\{\sigma\}))
P(\{\sigma\}' | \{\sigma\}) = g(\{\sigma\}' | \{\sigma\}) A(\{\sigma\}' | \{\sigma\})
g(\{\sigma\}' | \{\sigma\}) = \begin{cases} \frac{1}{N} &\text{ if } \{\sigma\} \text{ and } \{\sigma\}' \text{ differ by one spin}\\
0 & \text{ otherwise}\end{cases}
L'algorithme de Metropolis-Hastings
Un algorithme pour échantillonner une distribution dont on ne connaît pas la normalisation
P(\{\sigma\}) = \exp(-\beta E(\{\sigma\}))
P(\{\sigma\}' | \{\sigma\}) = g(\{\sigma\}' | \{\sigma\}) A(\{\sigma\}' | \{\sigma\})
g(\{\sigma\}' | \{\sigma\}) = \begin{cases} \frac{1}{N} &\text{ if } \{\sigma\} \text{ and } \{\sigma\}' \text{ differ by one spin}\\
0 & \text{ otherwise}\end{cases}
A(\{\sigma\}' | \{\sigma\}) = \min(1, \exp(-\beta \Delta E))
L'algorithme de Metropolis-Hastings
Un algorithme pour échantillonner une distribution dont on ne connaît pas la normalisation
P(\{\sigma\}) = \exp(-\beta E(\{\sigma\}))
P(\{\sigma\}' | \{\sigma\}) = g(\{\sigma\}' | \{\sigma\}) A(\{\sigma\}' | \{\sigma\})
g(\{\sigma\}' | \{\sigma\}) = \begin{cases} \frac{1}{N} &\text{ if } \{\sigma\} \text{ and } \{\sigma\}' \text{ differ by one spin}\\
0 & \text{ otherwise}\end{cases}
A(\{\sigma\}' | \{\sigma\}) = \min(1, \exp(-\beta \Delta E))
Garantie qu'à la limite des temps longs, on va avoir des échantillons qui respectent la distribution
Les réseaux de tenseurs
Image: https://tensornetwork.org/
Les réseaux de tenseurs
Image: https://tensornetwork.org/
- Dans le cas de système classiques, basés sur les idées de matrice de transfert déjà développés par Wannier
Les réseaux de tenseurs
Image: https://tensornetwork.org/
- Dans le cas de système classiques, basés sur les idées de matrice de transfert déjà développés par Wannier
- L'algorithme de CTMRG basé sur les idées de Baxter (CTM) et la DMRG de White, développé par Nishino et Okunishi en 1996
Les réseaux de tenseurs
Image: https://tensornetwork.org/
- Dans le cas de système classiques, basés sur les idées de matrice de transfert déjà développés par Wannier
- L'algorithme de CTMRG basé sur les idées de Baxter (CTM) et la DMRG de White, développé par Nishino et Okunishi en 1996
- Une formulation moderne des problèmes quantiques qui donne une compréhension bien plus avancée
Les réseaux de tenseurs
Image: https://tensornetwork.org/
- Dans le cas de système classiques, basés sur les idées de matrice de transfert déjà développés par Wannier
- L'algorithme de CTMRG basé sur les idées de Baxter (CTM) et la DMRG de White, développé par Nishino et Okunishi en 1996
- Une formulation moderne des problèmes quantiques qui donne une compréhension bien plus avancée
Les réseaux de tenseurs
Les réseaux de tenseurs
- Il est difficile de calculer l'entropie résiduelle de certains modèles avec le Monte Carlo
Les réseaux de tenseurs
- Il est difficile de calculer l'entropie résiduelle de certains modèles avec le Monte Carlo
- Les réseaux de tenseurs fonctionnent très bien quand ils convergent
Les réseaux de tenseurs
- Il est difficile de calculer l'entropie résiduelle de certains modèles avec le Monte Carlo
- Les réseaux de tenseurs fonctionnent très bien quand ils convergent
- Pour les modèles frustrés, la convergence dépend de l'expression de la fonction de partition
Les réseaux de tenseurs
- Il est difficile de calculer l'entropie résiduelle de certains modèles avec le Monte Carlo
- Les réseaux de tenseurs fonctionnent très bien quand ils convergent
- Pour les modèles frustrés, la convergence dépend de l'expression de la fonction de partition
- Pour une série de modèles frustrés, nous avons une construction systématique pour une fonction de partition sur laquelle les algorithmes standards convergent
Conclusion
Messages que j'espère avoir transmis
1. Un modèle en apparence très simple peu donner lieu à des questions très intéressantes
2. La glace a de l'entropie (si on pouvait la réaliser parfaitement...)
3. Le modèle d'Ising est à l'interface des mathématiques, de la physique numérique et expérimentale
... mais encore
1. Méthodes numériques: développements des applications des réseaux de neurones
2. L'étude du point critique du modèle d'Ising (et d'autres modèles), qui a contribué au développement de la Théorie Conforme des Champs
3. Le modèle d'Ising à 3D (ferromagnétique, réseau carré) n'est pas complètement résolu, même si des travaux notamment dûs à R. Rattazzi et A. Vichy (entre autres) ont beaucoup fait avancer le domaine
4. J'ai appris récemment que des modèles d'Ising généralisés étaient utilisés pour modéliser les différentes espèces pour décrire les piles à état solide
....
IsingModelAndFrustration
By Jeanne Colbois
IsingModelAndFrustration
Présentation en français pour les irrotationnels, décrivant le modèle d'Ising à l'interface des mathématiques, des expériences et de la matière condensée.
